🚪 蒙提霍尔问题
你在一档电视游戏节目中。面前有三扇门，一扇后面是跑车，另两扇后面是山羊。你选了一扇门，主持人打开了另一扇有山羊的门——你应该换门吗？
直觉告诉你：剩下两扇门，概率各 50%，换不换无所谓？
现实是：换门获胜概率 2/3，不换只有 1/3！换门让你获胜概率翻倍！
🎮 互动游戏
🚪 选择一扇门开始游戏
🧠 为什么换门更好？
方法一：枚举所有情况
| 车在门后 | 你选的 | 主持人开 | 换门结果 | 不换结果 |
|---|
| 门1 | 门1 | 门2或3 | ❌ 山羊 | ✅ 跑车 |
| 门1 | 门2 | 门3 | ✅ 跑车 | ❌ 山羊 |
| 门1 | 门3 | 门2 | ✅ 跑车 | ❌ 山羊 |
| 汇总 | | 2胜1负 (2/3) | 1胜2负 (1/3) |
9种等可能情况中，换门赢6次，不换赢3次。换门胜率 = 6/9 = 2/3。
方法二：直觉解释
1
你初始选门时，选中山羊的概率是 2/3，选跑车的概率是 1/3。
2
主持人知道车在哪，他一定会打开一扇有山羊的门。这个动作不改变你初始选择的概率。
3
如果你初始选了山羊（2/3概率），换门→得到跑车。换门等于"反选"你初始的选择。
4
所以换门胜率 = 你初始选错的概率 = 2/3。不换胜率 = 你初始选对的概率 = 1/3。
方法三：贝叶斯定理
P(车在门1 | 你选门1, 主持开门3) = P(主持开门3 | 车在门1)×P(车在门1) / P(主持开门3)
= (1/2)×(1/3) / (1/2) = 1/3
P(车在门2 | 你选门1, 主持开门3) = P(主持开门3 | 车在门2)×P(车在门2) / P(主持开门3)
= 1×(1/3) / (1/2) = 2/3
方法四：放大版——1000扇门
🔑 想象有 1000 扇门
你选了门1（1/1000概率正确），主持人打开了 998 扇有山羊的门，只剩门1和门737。
换门吗？当然换！你初始选对的概率只有 1/1000，车在门737的概率是 999/1000。
3扇门的情况完全一样，只是数字没那么极端：1/3 vs 2/3。
📚 历史轶事
1990年，Marilyn vos Savant 在 Parade 杂志专栏中回答了这个问题，指出换门胜率 2/3。她收到了约 10,000 封来信，其中约 1,000 封来自拥有博士学位的人——绝大多数说她错了。
数学家 Paul Erdős 直到被计算机模拟说服才接受这个结论。这就是概率直觉有多不靠谱的证明。
教训：当 1000 个博士的直觉都错了的时候，不要相信你的直觉——相信数学。
🔬 变体与扩展
1
不知情的主持人：如果主持人不知道车在哪，随机打开一扇门，恰好是山羊——此时换不换都是 1/2。主持人的知情是关键。
2
n扇门：n扇门中1辆车，主持人开(n-2)扇羊门。换门胜率 = (n-1)/n。门越多，换门优势越大。
3
多次选择：选门后，主持人开一扇羊门，你可以在剩下门中重选。然后主持人再开一扇……每次换都积累优势。