在一个房间里需要多少人，才能使两个人同生日的概率超过 50%？
关键洞察：我们不是问"有人和你同生日"的概率，而是"任意两人"同生日的概率。23 人产生 C(23,2) = 253 对组合——远比直觉中的 23 多。
| 人数 n | 配对数 C(n,2) | P(至少一对同生日) | 直觉预估 |
|---|---|---|---|
| 10 | 45 | 11.7% | ~3% |
| 20 | 190 | 41.1% | ~5% |
| 23 | 253 | 50.7% | ~6% |
| 30 | 435 | 70.6% | ~8% |
| 40 | 780 | 89.1% | ~11% |
| 50 | 1225 | 97.0% | ~14% |
| 60 | 1770 | 99.4% | ~16% |
| 70 | 2415 | 99.92% | ~19% |
| 100 | 4950 | 99.99997% | ~27% |
你的直觉在算"有人和我同生日的概率"：22人 × 1/365 ≈ 6%。但问题问的是"任意两人同生日"：C(23,2) = 253 对 × 1/365 ≈ 69%（近似值）。
人数 n 增加时，配对数按 n²/2 增长——这就是为什么概率上升得比你想象的快得多。
当 n 远小于 365 时，P(n) ≈ 1 - e^(-n(n-1)/(2×365))
令 P = 0.5，解得 n ≈ √(2 × 365 × ln2) ≈ 22.5，所以 23 人！
一般化：对于 d 个等可能值，50% 概率重复需要约 √(2d × ln2) ≈ 1.177√d 个人。
在不看答案的情况下，试着回答：
Q1: 如果一年有 1000 天（而不是365天），需要多少人才能有 50% 概率同生日？
Q2: 50 人的房间里，至少两人同生日的概率约为？