直接在末端执行器的工作空间定义路径，适合焊接、涂胶等精确路径跟踪。
import numpy as np
def ik_2r(x,y,L1=1.0,L2=0.8):
d2=x**2+y**2; c2=np.clip((d2-L1**2-L2**2)/(2*L1*L2),-1,1); s2=np.sqrt(1-c2**2)
t2=np.arctan2(s2,c2); t1=np.arctan2(y,x)-np.arctan2(L2*s2,L1+L2*c2); return t1,t2
def fk_2r(q,L1=1.0,L2=0.8): return L1*np.cos(q[0])+L2*np.cos(q[0]+q[1]),L1*np.sin(q[0])+L2*np.sin(q[0]+q[1])
L1,L2=1.0,0.8; p0=np.array([1.5,0.3]); pf=np.array([0.5,1.2])
print("笛卡尔空间轨迹规划"); print("="*60)
for profile in ['linear','cubic','quintic']:
pts=[]; n=200
for i in range(n+1):
tau=i/n
s=tau if profile=='linear' else (3*tau**2-2*tau**3 if profile=='cubic' else 10*tau**3-15*tau**4+6*tau**5)
pts.append(p0+s*(pf-p0))
q_traj=[]; ok=True
for p in pts:
d=np.linalg.norm(p)
if d>L1+L2 or dimport numpy as np
print("动力学参数灵敏度")
L1,L2,m1,m2,lc1,lc2,I1,I2,g=1.,.8,5.,3.,.5,.4,.5,.2,9.81
base_c2=np.cos(np.pi/6); M11=m1*lc1**2+I1+m2*(L1**2+lc2**2+2*L1*lc2*base_c2)+I2
for param,delta in [("m1",0.1),("m2",0.1),("L1",0.01),("lc1",0.01)]:
vals={k:v for k,v in zip(["m1","m2","L1","lc1"],[m1,m2,L1,lc1])}
vals[param]*=(1+delta); c2=base_c2
M11p=vals["m1"]*0.25+0.5+vals["m2"]*(vals["L1"]**2+0.16+2*vals["L1"]*0.4*c2)+0.2
print(f" {param}+{delta:.0%}: M11变化{(M11p-M11)/M11*100:.2f}%")参数灵敏度分析帮助确定哪些参数需要精确辨识。连杆长度对惯性矩阵影响最大。
本课程按"运动学→动力学→力控制→感知规划→实战项目"组织，每课都建立在前面知识基础上。理解本课后，你将：
完成本课后，你应该能够：
完成练习后，继续下一课的学习。本课内容将在后续课程中被反复使用和扩展。
牛顿-欧拉法的第一步递推（正向）从基座向末端传播运动量：
第二步递推（反向）从末端向基座传播力：
虽然拉格朗日法推导复杂，但它有独特优势：
实际关节的摩擦力远比简单阻尼模型复杂，常用模型包括：
摩擦补偿是高精度运动控制的必要环节。
本课涉及的技术在以下场景中有重要应用：
理解理论与实践的差距，是成为优秀机器人工程师的关键。
仿真验证的算法通常需要以下适配才能部署到实际机器人：参数标定、实时性优化、异常处理、安全保护。仿真与现实的差距（sim-to-real gap）是机器人领域的重要挑战。
Python适合算法验证和原型开发，但生产级控制器通常用C++实现。Python的NumPy/SciPy计算效率约为C++的1/10到1/100，对于1kHz控制频率可能不够。可以使用Cython、Numba或直接C++重写来加速。
推荐步骤：(1) Python仿真验证算法正确性；(2) 添加传感器噪声和延迟模型测试鲁棒性；(3) 用C++重写核心计算模块；(4) 在低速度下实际测试；(5) 逐步提高速度和负载。安全永远是第一位的。
| 术语 | 英文 | 定义 |
|---|---|---|
| 正运动学 | Forward Kinematics | 已知关节角求末端位姿 |
| 逆运动学 | Inverse Kinematics | 已知末端位姿求关节角 |
| 雅可比矩阵 | Jacobian Matrix | 关节速度到末端速度的映射 |
| 奇异位形 | Singularity | 末端失去某些方向运动能力的位形 |
| 工作空间 | Workspace | 末端可达的空间区域 |
| 自由度 | Degrees of Freedom | 独立运动变量的数量 |
| 齐次变换 | Homogeneous Transform | 4x4矩阵表示位姿 |
| 阻抗控制 | Impedance Control | 控制力与位移的动态关系 |
| 导纳控制 | Admittance Control | 输入力输出位移修正 |
| 轨迹规划 | Trajectory Planning | 生成平滑的运动时间函数 |
| 力封闭 | Force Closure | 接触力可抵抗任意外力 |
| 碰撞检测 | Collision Detection | 判断几何体是否相交 |
| 路径规划 | Path Planning | 在障碍物间找到安全路径 |
| 视觉伺服 | Visual Servoing | 基于视觉反馈的运动控制 |
| 手眼标定 | Hand-Eye Calibration | 确定相机与机器人坐标系的变换 |
掌握直线、圆弧和多点路径规划！