🧮 同态加密

📋 主要 FHE 方案对比

CKKS 编码详解

CKKS 的核心创新是将实数向量编码为多项式：

编码过程:
1. 取 N/2 个实数值: z = (z₁, z₂, ..., z_{N/2})
2. 将实数向量编码为多项式 m(X)，使 m(ζⱼ) = Δ·zⱼ
   其中 ζⱼ 是单位根，Δ 是缩放因子
3. 加密多项式 m(X) 得到密文

计算过程:
- 加法: E(m₁) + E(m₂) = E(m₁ + m₂)   → 解码后 z₁ + z₂
- 乘法: E(m₁) × E(m₂) = E(m₁ × m₂)   → 解码后 z₁ * z₂ (缩放因子平方)
- 旋转: Rotate(E(m), k) → 解码后循环移位 k 位

关键操作:
- Rescale: 乘法后缩放因子翻倍，需"重新缩放"恢复原始精度
- Rotate: SIMD 式并行 — 一次操作处理 N/2 个值

CKKS 的 SIMD 并行能力

CKKS 支持批处理 (Batching)——将多个实数值打包到一个密文中，一次运算同时处理所有值。这是 CKKS 性能的关键：

• 多项式度数 N = 2¹⁵ = 32768 时，可打包 N/2 = 16384 个实数值
• 一次密文加法 = 16384 次并行明文加法
• 一次密文乘法 = 16384 次并行明文乘法
• 实际吞吐量取决于自举频率和乘法深度

乘法深度与噪声预算

FHE 计算有一个关键概念：乘法深度 (Multiplicative Depth)。每做一次乘法，噪声增长，可用的"噪声预算"减少。当预算耗尽，必须自举刷新噪声。

🤖 同态加密的 AI 应用

FHE AI 推理性能现状（2025）

加速 FHE 的路径

🛠️ FHE 工具与库

💻 代码示例

Python + TenSEAL：CKKS 快速上手

TenSEAL 是 SEAL 的 Python 封装，最适合入门 CKKS 同态加密：

# pip install tenseal
import tenseal as ts
import numpy as np

# 创建 CKKS 上下文
context = ts.context(
    ts.SCHEME_TYPE.CKKS,
    poly_modulus_degree=8192,    # 多项式度数
    coeff_mod_bit_sizes=[60, 40, 40, 40, 40, 60]  # 模切换链
)
# 生成 Galois 密钥（旋转操作需要）和重线性化密钥
context.generate_galois_keys()
context.global_scale = 2**40   # 缩放因子

# ===== 加密两个向量 =====
vec1 = [1.0, 2.0, 3.0, 4.0]
vec2 = [5.0, 6.0, 7.0, 8.0]

enc_vec1 = ts.ckks_vector(context, vec1)
enc_vec2 = ts.ckks_vector(context, vec2)

# ===== 同态加法 =====
enc_add = enc_vec1 + enc_vec2
dec_add = enc_add.decrypt()
print(f"加法: {dec_add}")  # ≈ [6.0, 8.0, 10.0, 12.0]

# ===== 同态乘法 =====
enc_mul = enc_vec1 * enc_vec2
dec_mul = enc_mul.decrypt()
print(f"乘法: {dec_mul}")  # ≈ [5.0, 12.0, 21.0, 32.0]

# ===== 同态标量乘法 =====
enc_scaled = enc_vec1 * 3
dec_scaled = enc_scaled.decrypt()
print(f"标量乘: {dec_scaled}")  # ≈ [3.0, 6.0, 9.0, 12.0]

# ===== 同态内积 =====
enc_dot = enc_vec1.dot(enc_vec2)
dec_dot = enc_dot.decrypt()
print(f"内积: {dec_dot}")  # ≈ [70.0]

# ===== 密文-密文乘法后需要重线性化 =====
enc_result = (enc_vec1 * enc_vec2) + enc_vec1
dec_result = enc_result.decrypt()
print(f"复合运算: {dec_result}")  # ≈ [6.0, 14.0, 24.0, 36.0]

Python + TenSEAL：加密 NN 推理

import tenseal as ts
import numpy as np

# 模拟一个简单的 2 层神经网络
# Layer 1: Linear(4 → 2) + ReLU（近似）
# Layer 2: Linear(2 → 1)
np.random.seed(42)
W1 = np.random.randn(2, 4) * 0.5  # 权重矩阵
b1 = np.zeros(2)                    # 偏置
W2 = np.random.randn(1, 2) * 0.5
b2 = np.zeros(1)

# CKKS 上下文（更大参数以支持更多乘法深度）
context = ts.context(
    ts.SCHEME_TYPE.CKKS,
    poly_modulus_degree=16384,
    coeff_mod_bit_sizes=[60, 40, 40, 40, 40, 40, 60]
)
context.generate_galois_keys()
context.global_scale = 2**40

# 加密输入
x = [0.5, -0.3, 0.8, 0.1]
enc_x = ts.ckks_vector(context, x)

# Layer 1: 矩阵-向量乘法 + 偏置
# 注意：在 FHE 中，权重是明文（服务端模型），输入是密文
enc_h = enc_x.matmul(W1.tolist()) + b1.tolist()

# ⚠️ ReLU 是非线性运算，FHE 不直接支持！
# 方案 1：使用多项式近似（如 x → 0.5x + 0.1875x³ - 0.0039x⁵）
# 方案 2：省略激活函数（对小型网络影响有限）
# 方案 3：用 TFHE 做非线性部分

# 方案 1 示例：3次多项式近似 ReLU (仅在小范围内有效)
# f(x) ≈ 0.5x + 0.1875x³ — 在 [-1, 1] 范围内近似
enc_h_approx = enc_h  # 跳过 ReLU 近似，直接做下一层

# Layer 2
enc_output = enc_h_approx.matmul(W2.tolist()) + b2.tolist()

# 解密结果
output = enc_output.decrypt()
print(f"加密推理结果: {output}")
print(f"明文推理结果: {W2 @ (W1 @ np.array(x) + b1) + b2}")

Zama Concrete-ML：FHE 机器学习（最简方案）

# pip install concrete-ml
from concrete.ml.sklearn import LinearSVC
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split

# 生成数据
X, y = make_classification(n_samples=1000, n_features=10, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

# 训练模型（自动量化为 FHE 兼容）
model = LinearSVC(n_bits=8)  # 8位量化
model.fit(X_train, y_train)

# 明文推理
y_pred_clear = model.predict(X_test)
print(f"明文准确率: {(y_pred_clear == y_test).mean():.4f}")

# FHE 推理 — 编译模型
model.compile(X_train)

# 加密推理（完整 FHE 流程：加密 → 密文推理 → 解密）
y_pred_fhe = model.predict(X_test, execute_in_fhe=True)
print(f"FHE 准确率: {(y_pred_fhe == y_test).mean():.4f}")
print(f"明文 vs FHE 一致性: {(y_pred_clear == y_pred_fhe).mean():.4f}")

OpenSSL：实际生产中的加密实践（非 FHE）

# 生成 AES-256 密钥
openssl rand -hex 32

# AES-256-CBC 加密文件（注意：生产环境用 GCM 而非 CBC）
openssl enc -aes-256-cbc -salt -pbkdf2 -in secret.txt -out secret.enc

# AES-256-GCM 加密（需要 OpenSSL 3.0+）
openssl enc -aes-256-gcm -in secret.txt -out secret.enc -K $(openssl rand -hex 32) -iv $(openssl rand -hex 12)

# 生成 RSA-4096 密钥对
openssl genpkey -algorithm RSA -out private.pem -pkeyopt rsa_keygen_bits:4096
openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem

# 用 RSA 公钥加密 AES 密钥（混合加密方案）
openssl rsautl -encrypt -pubin -inkey public.pem -in aes_key.bin -out aes_key.enc

# 用 RSA 私钥解密 AES 密钥
openssl rsautl -decrypt -inkey private.pem -in aes_key.enc -out aes_key.bin

⚖️ FHE vs 其他隐私计算技术

🔮 FHE 前沿方向

📖 学习资源